遞推算法和遞歸的區(qū)別（遞推法和遞歸法哪個(gè)效率更高）

大家好！今天讓創(chuàng)意嶺的小編來(lái)大家介紹下關(guān)于遞推算法和遞歸的區(qū)別的問(wèn)題，以下是小編對(duì)此問(wèn)題的歸納整理，讓我們一起來(lái)看看吧。

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本文目錄:

• 1、遞歸數(shù)列與遞推數(shù)列的區(qū)別

• 2、什么是遞歸式?遞推式?

• 3、C語(yǔ)言用遞推和遞歸兩種算法完成斐波那契數(shù)列的計(jì)算，給一下代碼

• 4、迭代算法和遞歸算法的異同？

一、遞歸數(shù)列與遞推數(shù)列的區(qū)別

詳細(xì)解釋

　遞歸數(shù)列 （recursive sequence ）：一種用歸納方法給定的數(shù)列。 例如，等比數(shù)列可以用歸納方法來(lái)定義，先定義第一項(xiàng) a1 的值( a1 ≠ 0 )，對(duì) 于以后的項(xiàng) ，用遞推公式an+1＝qan （q≠0，n＝1，2，…）給出定義。一般地，遞歸數(shù)列的前k項(xiàng)a1，a2，…，ak為已知數(shù)，從第k＋1項(xiàng)起，由某一遞推公式an+k＝f（an，an+1，…，an+k-1） ( n＝1，2，…）所確定。k稱(chēng)為遞歸數(shù)列的階數(shù)。例如 ，已知 a1＝1，a2＝1，其余各項(xiàng)由公式an+1＝an＋an-1（n＝2，3，…）給定的數(shù)列是二階遞歸數(shù)列。這是斐波那契數(shù)列，各項(xiàng)依次為 1 ，1 ，2 ，3，5 ，8 ，13 ，21 ，…，同樣 ，由遞歸式an+1－an ＝an－an-1( a1，a2 為已知，n＝2，3，… ) 給定的數(shù)列，也是二階遞歸數(shù)列，這是等差數(shù)列。

遞推數(shù)列

遞推公式：如果數(shù)列｛an｝的第n項(xiàng)與它前一項(xiàng)或幾項(xiàng)的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式。 用遞推公式表示的數(shù)列就叫做遞推數(shù)列 比如等比數(shù)列An=A1*q^（n－1）可以表示為：An=q*An-1

二、什么是遞歸式?遞推式?

遞歸式

當(dāng)遞推式中只含數(shù)列中的項(xiàng),而無(wú)常數(shù)項(xiàng)或其它項(xiàng)時(shí),就叫做遞歸公式.所以遞歸公式屬于地推公式,這樣一個(gè)數(shù)列可以有三種給出的方法,例如自然數(shù)列用通項(xiàng)公式表示為：an=n 用遞推公式表示為：an+1=an+1,初始條件為a1=1 用遞歸公式表示為：an+2=2an+1-an,初始條件,a1=1,a2=2 線性遞歸公式：遞歸公式的各項(xiàng)的次數(shù)均為一次時(shí),便稱(chēng)為線性遞歸公式.用連續(xù)k項(xiàng)的表達(dá)式來(lái)表示緊接的后一項(xiàng)的線性遞歸公式叫做k階線性遞歸公式,其一般形式如下：an+k=m1an+k-1+m2an+k-2+...+mkan

遞推式

遞推公式的概念：可以通過(guò)給出數(shù)列(按一定次序排列的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列（sequence of number）.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).排在第一位的數(shù)稱(chēng)為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（通常也叫做首項(xiàng)）,排在第二位的數(shù)稱(chēng)為這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)……排在第n位的數(shù)稱(chēng)為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng).所以,數(shù)列的一般形式可以寫(xiě)成a1,a2,a3,…,an,…簡(jiǎn)記為｛an｝,)的第1項(xiàng)（或前若干項(xiàng)）,并給出數(shù)列的某一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前若干項(xiàng)）的關(guān)系式來(lái)表示數(shù)列,這種表示數(shù)列的式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.遞推公式是數(shù)列所特有的表示法,它包含兩個(gè)部分,一是遞推關(guān)系,一是初始條件,二者缺一不可．----還需要一個(gè)結(jié)論.就是一個(gè)規(guī)律.遞推公式：如果一個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)an與該數(shù)列的其他一項(xiàng)或多項(xiàng)之間存在對(duì)應(yīng)關(guān)系的,這個(gè)關(guān)系就稱(chēng)為該數(shù)列的遞推公式.例如斐波納契數(shù)列的遞推公式為an=an-1+an-2 等差數(shù)列遞推公式：an=an-1+d 等比數(shù)列遞推公式：bn=bn-1×q

三、C語(yǔ)言用遞推和遞歸兩種算法完成斐波那契數(shù)列的計(jì)算，給一下代碼

//遞歸法

int fibo1(int n)

{

if( n == 1 || n == 2) return 1;

else return fibo1(n-1)+fibo1(n-2);

}

//遞推法

int fibo2(int n)

{

int f0=1,f1=1,f;

if (n<2)

return 1;

for(int i=2;i<n-1;i++)

{

f=f0+f1;

f0=f1;

f1=f;

}

return f;

}

區(qū)別：遞推是直接使用已知的條件去推出未知的條件；遞歸則是將大問(wèn)題逐漸轉(zhuǎn)化為若干個(gè)相同的子問(wèn)題，直到得到已知的最小子問(wèn)題，再回溯依次得到父問(wèn)題的答案。是由未知到已知，再?gòu)囊阎轿粗?。?duì)于復(fù)雜的問(wèn)題，遞歸把問(wèn)題簡(jiǎn)單化，讀起來(lái)易懂。

四、迭代算法和遞歸算法的異同？

迭代算法是用計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的一種基本方法。它利用計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度快、適合做重復(fù)性操作的特點(diǎn)，讓計(jì)算機(jī)對(duì)一組指令（或一定步驟）進(jìn)行重復(fù)執(zhí)行，在每次執(zhí)行這組指令（或這些步驟）時(shí)，都從變量的原值推出它的一個(gè)新值。

利用迭代算法解決問(wèn)題，需要做好以下三個(gè)方面的工作：

一、確定迭代變量。在可以用迭代算法解決的問(wèn)題中，至少存在一個(gè)直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變量，這個(gè)變量就是迭代變量。

二、建立迭代關(guān)系式。所謂迭代關(guān)系式，指如何從變量的前一個(gè)值推出其下一個(gè)值的公式（或關(guān)系）。迭代關(guān)系式的建立是解決迭代問(wèn)題的關(guān)鍵，通?？梢允褂眠f推或倒推的方法來(lái)完成。

三、對(duì)迭代過(guò)程進(jìn)行控制。在什么時(shí)候結(jié)束迭代過(guò)程？這是編寫(xiě)迭代程序必須考慮的問(wèn)題。不能讓迭代過(guò)程無(wú)休止地重復(fù)執(zhí)行下去。迭代過(guò)程的控制通?？煞譃閮煞N情況：一種是所需的迭代次數(shù)是個(gè)確定的值，可以計(jì)算出來(lái)；另一種是所需的迭代次數(shù)無(wú)法確定。對(duì)于前一種情況，可以構(gòu)建一個(gè)固定次數(shù)的循環(huán)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)迭代過(guò)程的控制；對(duì)于后一種情況，需要進(jìn)一步分析出用來(lái)結(jié)束迭代過(guò)程的條件。

例 1 ： 一個(gè)飼養(yǎng)場(chǎng)引進(jìn)一只剛出生的新品種兔子，這種兔子從出生的下一個(gè)月開(kāi)始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去，問(wèn)到第 12 個(gè)月時(shí)，該飼養(yǎng)場(chǎng)共有兔子多少只？

分析： 這是一個(gè)典型的遞推問(wèn)題。我們不妨假設(shè)第 1 個(gè)月時(shí)兔子的只數(shù)為 u 1 ，第 2 個(gè)月時(shí)兔子的只數(shù)為 u 2 ，第 3 個(gè)月時(shí)兔子的只數(shù)為 u 3 ，……根據(jù)題意，“這種兔子從出生的下一個(gè)月開(kāi)始，每月新生一只兔子”，則有

u 1 ＝ 1 ， u 2 ＝ u 1 ＋ u 1 × 1 ＝ 2 ， u 3 ＝ u 2 ＋ u 2 × 1 ＝ 4 ，……

根據(jù)這個(gè)規(guī)律，可以歸納出下面的遞推公式：

u n ＝ u n － 1 × 2 (n ≥ 2)

對(duì)應(yīng) u n 和 u n － 1 ，定義兩個(gè)迭代變量 y 和 x ，可將上面的遞推公式轉(zhuǎn)換成如下迭代關(guān)系：

y=x*2

x=y

讓計(jì)算機(jī)對(duì)這個(gè)迭代關(guān)系重復(fù)執(zhí)行 11 次，就可以算出第 12 個(gè)月時(shí)的兔子數(shù)。參考程序如下：

cls

x=1

for i=2 to 12

y=x*2

x=y

next i

print y

end

例 2 ： 阿米巴用簡(jiǎn)單分裂的方式繁殖，它每分裂一次要用 3 分鐘。將若干個(gè)阿米巴放在一個(gè)盛滿(mǎn)營(yíng)養(yǎng)參液的容器內(nèi)， 45 分鐘后容器內(nèi)充滿(mǎn)了阿米巴。已知容器最多可以裝阿米巴 2 20 個(gè)。試問(wèn)，開(kāi)始的時(shí)候往容器內(nèi)放了多少個(gè)阿米巴？請(qǐng)編程序算出。

分析： 根據(jù)題意，阿米巴每 3 分鐘分裂一次，那么從開(kāi)始的時(shí)候?qū)⒚装头湃肴萜骼锩妫?45 分鐘后充滿(mǎn)容器，需要分裂 45/3=15 次。而“容器最多可以裝阿米巴 2 20 個(gè)”，即阿米巴分裂 15 次以后得到的個(gè)數(shù)是 2 20 。題目要求我們計(jì)算分裂之前的阿米巴數(shù)，不妨使用倒推的方法，從第 15 次分裂之后的 2 20 個(gè)，倒推出第 15 次分裂之前（即第 14 次分裂之后）的個(gè)數(shù)，再進(jìn)一步倒推出第 13 次分裂之后、第 12 次分裂之后、……第 1 次分裂之前的個(gè)數(shù)。

設(shè)第 1 次分裂之前的個(gè)數(shù)為 x 0 、第 1 次分裂之后的個(gè)數(shù)為 x 1 、第 2 次分裂之后的個(gè)數(shù)為 x 2 、……第 15 次分裂之后的個(gè)數(shù)為 x 15 ，則有

x 14 =x 15 /2 、 x 13 =x 14 /2 、…… x n-1 =x n /2 (n ≥ 1)

因?yàn)榈?15 次分裂之后的個(gè)數(shù) x 15 是已知的，如果定義迭代變量為 x ，則可以將上面的倒推公式轉(zhuǎn)換成如下的迭代公式：

x=x/2 （ x 的初值為第 15 次分裂之后的個(gè)數(shù) 2 20 ）

讓這個(gè)迭代公式重復(fù)執(zhí)行 15 次，就可以倒推出第 1 次分裂之前的阿米巴個(gè)數(shù)。因?yàn)樗璧牡螖?shù)是個(gè)確定的值，我們可以使用一個(gè)固定次數(shù)的循環(huán)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)迭代過(guò)程的控制。參考程序如下：

cls

x=2^20

for i=1 to 15

x=x/2

next i

print x end

例 3 ： 驗(yàn)證谷角猜想。日本數(shù)學(xué)家谷角靜夫在研究自然數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)奇怪現(xiàn)象：對(duì)于任意一個(gè)自然數(shù) n ，若 n 為偶數(shù)，則將其除以 2 ；若 n 為奇數(shù)，則將其乘以 3 ，然后再加 1 。如此經(jīng)過(guò)有限次運(yùn)算后，總可以得到自然數(shù) 1 。人們把谷角靜夫的這一發(fā)現(xiàn)叫做“谷角猜想”。

要求：編寫(xiě)一個(gè)程序，由鍵盤(pán)輸入一個(gè)自然數(shù) n ，把 n 經(jīng)過(guò)有限次運(yùn)算后，最終變成自然數(shù) 1 的全過(guò)程打印出來(lái)。

分析： 定義迭代變量為 n ，按照谷角猜想的內(nèi)容，可以得到兩種情況下的迭代關(guān)系式：當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， n=n/2 ；當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， n=n*3+1 。用 QBASIC 語(yǔ)言把它描述出來(lái)就是：

if n 為偶數(shù) then

n=n/2

else

n=n*3+1

end if

這就是需要計(jì)算機(jī)重復(fù)執(zhí)行的迭代過(guò)程。這個(gè)迭代過(guò)程需要重復(fù)執(zhí)行多少次，才能使迭代變量 n 最終變成自然數(shù) 1 ，這是我們無(wú)法計(jì)算出來(lái)的。因此，還需進(jìn)一步確定用來(lái)結(jié)束迭代過(guò)程的條件。仔細(xì)分析題目要求，不難看出，對(duì)任意給定的一個(gè)自然數(shù) n ，只要經(jīng)過(guò)有限次運(yùn)算后，能夠得到自然數(shù) 1 ，就已經(jīng)完成了驗(yàn)證工作。因此，用來(lái)結(jié)束迭代過(guò)程的條件可以定義為： n=1 。參考程序如下：

cls

input "Please input n=";n

do until n=1

if n mod 2=0 then

rem 如果 n 為偶數(shù)，則調(diào)用迭代公式 n=n/2

n=n/2

print "—";n;

else

n=n*3+1

print "—";n;

end if

loop

end

迭代法

迭代法是用于求方程或方程組近似根的一種常用的算法設(shè)計(jì)方法。設(shè)方程為f(x)=0，用某種數(shù)學(xué)方法導(dǎo)出等價(jià)的形式x=g(x)，然后按以下步驟執(zhí)行：

（1） 選一個(gè)方程的近似根，賦給變量x0；

（2） 將x0的值保存于變量x1，然后計(jì)算g(x1)，并將結(jié)果存于變量x0；

（3） 當(dāng)x0與x1的差的絕對(duì)值還小于指定的精度要求時(shí)，重復(fù)步驟（2）的計(jì)算。

若方程有根，并且用上述方法計(jì)算出來(lái)的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0就認(rèn)為是方程的根。上述算法用C程序的形式表示為：

【算法】迭代法求方程的根

{ x0=初始近似根；

do {

x1=x0；

x0=g(x1)； /*按特定的方程計(jì)算新的近似根*/

} while ( fabs(x0-x1)>Epsilon)；

printf(“方程的近似根是%f\n”，x0)；

}

迭代算法也常用于求方程組的根，令

X=（x0，x1，…，xn-1）

設(shè)方程組為：

xi=gi(X) (I=0，1，…，n-1)

則求方程組根的迭代算法可描述如下：

【算法】迭代法求方程組的根

{ for (i=0;i

x=初始近似根;

do {

for (i=0;i

y=x;

for (i=0;i

x=gi(X);

for (delta=0.0,i=0;i

if (fabs(y-x)>delta) delta=fabs(y-x)；

} while (delta>Epsilon)；

for (i=0;i

printf(“變量x[%d]的近似根是 %f”，I，x)；

printf(“\n”)；

}

具體使用迭代法求根時(shí)應(yīng)注意以下兩種可能發(fā)生的情況：

（1） 如果方程無(wú)解，算法求出的近似根序列就不會(huì)收斂，迭代過(guò)程會(huì)變成死循環(huán)，因此在使用迭代算法前應(yīng)先考察方程是否有解，并在程序中對(duì)迭代的次數(shù)給予限制；

（2） 方程雖然有解，但迭代公式選擇不當(dāng)，或迭代的初始近似根選擇不合理，也會(huì)導(dǎo)致迭代失敗。

遞歸

遞歸是設(shè)計(jì)和描述算法的一種有力的工具，由于它在復(fù)雜算法的描述中被經(jīng)常采用，為此在進(jìn)一步介紹其他算法設(shè)計(jì)方法之前先討論它。

能采用遞歸描述的算法通常有這樣的特征：為求解規(guī)模為N的問(wèn)題，設(shè)法將它分解成規(guī)模較小的問(wèn)題，然后從這些小問(wèn)題的解方便地構(gòu)造出大問(wèn)題的解，并且這些規(guī)模較小的問(wèn)題也能采用同樣的分解和綜合方法，分解成規(guī)模更小的問(wèn)題，并從這些更小問(wèn)題的解構(gòu)造出規(guī)模較大問(wèn)題的解。特別地，當(dāng)規(guī)模N=1時(shí)，能直接得解。

【問(wèn)題】 編寫(xiě)計(jì)算斐波那契（Fibonacci）數(shù)列的第n項(xiàng)函數(shù)fib（n）。

斐波那契數(shù)列為：0、1、1、2、3、……，即：

fib(0)=0;

fib(1)=1;

fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) （當(dāng)n>1時(shí)）。

寫(xiě)成遞歸函數(shù)有：

int fib(int n)

{ if (n==0) return 0;

if (n==1) return 1;

if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2);

}

遞歸算法的執(zhí)行過(guò)程分遞推和回歸兩個(gè)階段。在遞推階段，把較復(fù)雜的問(wèn)題（規(guī)模為n）的求解推到比原問(wèn)題簡(jiǎn)單一些的問(wèn)題（規(guī)模小于n）的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是說(shuō)，為計(jì)算fib(n)，必須先計(jì)算fib(n-1)和fib(n- 2)，而計(jì)算fib(n-1)和fib(n-2)，又必須先計(jì)算fib(n-3)和fib(n-4)。依次類(lèi)推，直至計(jì)算fib(1)和fib(0)，分別能立即得到結(jié)果1和0。在遞推階段，必須要有終止遞歸的情況。例如在函數(shù)fib中，當(dāng)n為1和0的情況。

在回歸階段，當(dāng)獲得最簡(jiǎn)單情況的解后，逐級(jí)返回，依次得到稍復(fù)雜問(wèn)題的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的結(jié)果，……，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的結(jié)果后，返回得到fib(n)的結(jié)果。

在編寫(xiě)遞歸函數(shù)時(shí)要注意，函數(shù)中的局部變量和參數(shù)知識(shí)局限于當(dāng)前調(diào)用層，當(dāng)遞推進(jìn)入“簡(jiǎn)單問(wèn)題”層時(shí)，原來(lái)層次上的參數(shù)和局部變量便被隱蔽起來(lái)。在一系列“簡(jiǎn)單問(wèn)題”層，它們各有自己的參數(shù)和局部變量。

由于遞歸引起一系列的函數(shù)調(diào)用，并且可能會(huì)有一系列的重復(fù)計(jì)算，遞歸算法的執(zhí)行效率相對(duì)較低。當(dāng)某個(gè)遞歸算法能較方便地轉(zhuǎn)換成遞推算法時(shí)，通常按遞推算法編寫(xiě)程序。例如上例計(jì)算斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng)的函數(shù)fib(n)應(yīng)采用遞推算法，即從斐波那契數(shù)列的前兩項(xiàng)出發(fā)，逐次由前兩項(xiàng)計(jì)算出下一項(xiàng)，直至計(jì)算出要求的第n項(xiàng)。

【問(wèn)題】 組合問(wèn)題

問(wèn)題描述：找出從自然數(shù)1、2、……、n中任取r個(gè)數(shù)的所有組合。例如n=5，r=3的所有組合為： （1）5、4、3 （2）5、4、2 （3）5、4、1

（4）5、3、2 （5）5、3、1 （6）5、2、1

（7）4、3、2 （8）4、3、1 （9）4、2、1

（10）3、2、1

分析所列的10個(gè)組合，可以采用這樣的遞歸思想來(lái)考慮求組合函數(shù)的算法。設(shè)函數(shù)為void comb(int m,int k)為找出從自然數(shù)1、2、……、m中任取k個(gè)數(shù)的所有組合。當(dāng)組合的第一個(gè)數(shù)字選定時(shí)，其后的數(shù)字是從余下的m-1個(gè)數(shù)中取k-1數(shù)的組合。這就將求m 個(gè)數(shù)中取k個(gè)數(shù)的組合問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求m-1個(gè)數(shù)中取k-1個(gè)數(shù)的組合問(wèn)題。設(shè)函數(shù)引入工作數(shù)組a[ ]存放求出的組合的數(shù)字，約定函數(shù)將確定的k個(gè)數(shù)字組合的第一個(gè)數(shù)字放在a[k]中，當(dāng)一個(gè)組合求出后，才將a[ ]中的一個(gè)組合輸出。第一個(gè)數(shù)可以是m、m-1、……、k，函數(shù)將確定組合的第一個(gè)數(shù)字放入數(shù)組后，有兩種可能的選擇，因還未去頂組合的其余元素，繼續(xù)遞歸去確定；或因已確定了組合的全部元素，輸出這個(gè)組合。細(xì)節(jié)見(jiàn)以下程序中的函數(shù)comb。

【程序】

# include

# define MAXN 100

int a[MAXN];

void comb(int m,int k)

{ int i,j;

for (i=m;i>=k;i--)

{ a[k]=i;

if (k>1)

comb(i-1,k-1);

else

{ for (j=a[0];j>0;j--)

printf(“%4d”,a[j]);

printf(“\n”);

}

}

}

void main()

{ a[0]=3;

comb(5,3);

}

【問(wèn)題】 背包問(wèn)題

問(wèn)題描述：有不同價(jià)值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過(guò)指定的限制重量，但選中物品的價(jià)值之和最大。

設(shè)n 件物品的重量分別為w0、w1、…、wn-1，物品的價(jià)值分別為v0、v1、…、vn-1。采用遞歸尋找物品的選擇方案。設(shè)前面已有了多種選擇的方案，并保留了其中總價(jià)值最大的方案于數(shù)組option[ ]，該方案的總價(jià)值存于變量maxv。當(dāng)前正在考察新方案，其物品選擇情況保存于數(shù)組cop[ ]。假定當(dāng)前方案已考慮了前i-1件物品，現(xiàn)在要考慮第i件物品；當(dāng)前方案已包含的物品的重量之和為tw；至此，若其余物品都選擇是可能的話(huà)，本方案能達(dá)到的總價(jià)值的期望值為tv。算法引入tv是當(dāng)一旦當(dāng)前方案的總價(jià)值的期望值也小于前面方案的總價(jià)值maxv時(shí)，繼續(xù)考察當(dāng)前方案變成無(wú)意義的工作，應(yīng)終止當(dāng)前方案，立即去考察下一個(gè)方案。因?yàn)楫?dāng)方案的總價(jià)值不比maxv大時(shí)，該方案不會(huì)被再考察，這同時(shí)保證函數(shù)后找到的方案一定會(huì)比前面的方案更好。

對(duì)于第i件物品的選擇考慮有兩種可能：

（1） 考慮物品i被選擇，這種可能性?xún)H當(dāng)包含它不會(huì)超過(guò)方案總重量限制時(shí)才是可行的。選中后，繼續(xù)遞歸去考慮其余物品的選擇。

（2） 考慮物品i不被選擇，這種可能性?xún)H當(dāng)不包含物品i也有可能會(huì)找到價(jià)值更大的方案的情況。

按以上思想寫(xiě)出遞歸算法如下：

try(物品i，當(dāng)前選擇已達(dá)到的重量和，本方案可能達(dá)到的總價(jià)值tv)

{ /*考慮物品i包含在當(dāng)前方案中的可能性*/

if(包含物品i是可以接受的)

{ 將物品i包含在當(dāng)前方案中；

if (i

try(i+1,tw+物品i的重量,tv);

else

/*又一個(gè)完整方案，因?yàn)樗惹懊娴姆桨负茫运鳛樽罴逊桨?/

以當(dāng)前方案作為臨時(shí)最佳方案保存;

恢復(fù)物品i不包含狀態(tài)；

}

/*考慮物品i不包含在當(dāng)前方案中的可能性*/

if (不包含物品i僅是可男考慮的)

if (i

try(i+1,tw,tv-物品i的價(jià)值)；

else

/*又一個(gè)完整方案，因它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/

以當(dāng)前方案作為臨時(shí)最佳方案保存;

}

為了理解上述算法，特舉以下實(shí)例。設(shè)有4件物品，它們的重量和價(jià)值見(jiàn)表：

物品 0 1 2 3

重量 5 3 2 1

價(jià)值 4 4 3 1

并設(shè)限制重量為7。則按以上算法，下圖表示找解過(guò)程。由圖知，一旦找到一個(gè)解，算法就進(jìn)一步找更好的佳。如能判定某個(gè)查找分支不會(huì)找到更好的解，算法不會(huì)在該分支繼續(xù)查找，而是立即終止該分支，并去考察下一個(gè)分支。

按上述算法編寫(xiě)函數(shù)和程序如下：

【程序】

# include

# define N 100

double limitW,totV,maxV;

int option[N],cop[N];

struct { double weight;

double value;

}a[N];

int n;

void find(int i,double tw,double tv)

{ int k;

/*考慮物品i包含在當(dāng)前方案中的可能性*/

if (tw+a.weight<=limitW)

{ cop=1;

if (i

else

{ for (k=0;k

option[k]=cop[k];

maxv=tv;

}

cop=0;

}

/*考慮物品i不包含在當(dāng)前方案中的可能性*/

if (tv-a.value>maxV)

if (i

else

{ for (k=0;k

option[k]=cop[k];

maxv=tv-a.value;

}

}

void main()

{ int k;

double w,v;

printf(“輸入物品種數(shù)\n”);

scanf((“%d”,&n);

printf(“輸入各物品的重量和價(jià)值\n”);

for (totv=0.0,k=0;k

{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v);

a[k].weight=w;

a[k].value=v;

totV+=V;

}

printf(“輸入限制重量\n”);

scanf(“%1f”,&limitV);

maxv=0.0;

for (k=0;k find(0,0.0,totV);

for (k=0;k

if (option[k]) printf(“%4d”,k+1);

printf(“\n總價(jià)值為%.2f\n”,maxv);

}

作為對(duì)比，下面以同樣的解題思想，考慮非遞歸的程序解。為了提高找解速度，程序不是簡(jiǎn)單地逐一生成所有候選解，而是從每個(gè)物品對(duì)候選解的影響來(lái)形成值得進(jìn)一步考慮的候選解，一個(gè)候選解是通過(guò)依次考察每個(gè)物品形成的。對(duì)物品i的考察有這樣幾種情況：當(dāng)該物品被包含在候選解中依舊滿(mǎn)足解的總重量的限制，該物品被包含在候選解中是應(yīng)該繼續(xù)考慮的；反之，該物品不應(yīng)該包括在當(dāng)前正在形成的候選解中。同樣地，僅當(dāng)物品不被包括在候選解中，還是有可能找到比目前臨時(shí)最佳解更好的候選解時(shí)，才去考慮該物品不被包括在候選解中；反之，該物品不包括在當(dāng)前候選解中的方案也不應(yīng)繼續(xù)考慮。對(duì)于任一值得繼續(xù)考慮的方案，程序就去進(jìn)一步考慮下一個(gè)物品。

【程序】

# include

# define N 100

double limitW;

int cop[N];

struct ele { double weight;

double value;

} a[N];

int k,n;

struct { int ;

double tw;

double tv;

}twv[N];

void next(int i,double tw,double tv)

{ twv.=1;

twv.tw=tw;

twv.tv=tv;

}

double find(struct ele *a,int n)

{ int i,k,f;

double maxv,tw,tv,totv;

maxv=0;

for (totv=0.0,k=0;k

totv+=a[k].value;

next(0,0.0,totv);

i=0;

While (i>=0)

{ f=twv.;

tw=twv.tw;

tv=twv.tv;

switch(f)

{ case 1: twv.++;

if (tw+a.weight<=limitW)

if (i

{ next(i+1,tw+a.weight,tv);

i++;

}

else

{ maxv=tv;

for (k=0;k

cop[k]=twv[k].!=0;

}

break;

case 0: i--;

break;

default: twv.=0;

if (tv-a.value>maxv)

if (i

{ next(i+1,tw,tv-a.value);

i++;

}

else

{ maxv=tv-a.value;

for (k=0;k

cop[k]=twv[k].!=0;

}

break;

}

}

return maxv;

}

void main()

{ double maxv;

printf(“輸入物品種數(shù)\n”);

scanf((“%d”,&n);

printf(“輸入限制重量\n”);

scanf(“%1f”,&limitW);

printf(“輸入各物品的重量和價(jià)值\n”);

for (k=0;k

scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value);

maxv=find(a,n);

printf(“\n選中的物品為\n”);

for (k=0;k

if (option[k]) printf(“%4d”,k+1);

printf(“\n總價(jià)值為%.2f\n”,maxv);

}

遞歸的基本概念和特點(diǎn)

程序調(diào)用自身的編程技巧稱(chēng)為遞歸（ recursion）。

一個(gè)過(guò)程或函數(shù)在其定義或說(shuō)明中又直接或間接調(diào)用自身的一種方法，它通常把一個(gè)大型復(fù)雜的問(wèn)題層層轉(zhuǎn)化為一個(gè)與原問(wèn)題相似的規(guī)模較小的問(wèn)題來(lái)求解，遞歸策略只需少量的程序就可描述出解題過(guò)程所需要的多次重復(fù)計(jì)算，大大地減少了程序的代碼量。遞歸的能力在于用有限的語(yǔ)句來(lái)定義對(duì)象的無(wú)限集合。用遞歸思想寫(xiě)出的程序往往十分簡(jiǎn)潔易懂。

一般來(lái)說(shuō)，遞歸需要有邊界條件、遞歸前進(jìn)段和遞歸返回段。當(dāng)邊界條件不滿(mǎn)足時(shí)，遞歸前進(jìn)；當(dāng)邊界條件滿(mǎn)足時(shí)，遞歸返回。

注意：

(1) 遞歸就是在過(guò)程或函數(shù)里調(diào)用自身;

(2) 在使用遞增歸策略時(shí)，必須有一個(gè)明確的遞歸結(jié)束條件，稱(chēng)為遞歸出口。

以上就是關(guān)于遞推算法和遞歸的區(qū)別相關(guān)問(wèn)題的回答。希望能幫到你，如有更多相關(guān)問(wèn)題，您也可以聯(lián)系我們的客服進(jìn)行咨詢(xún)，客服也會(huì)為您講解更多精彩的知識(shí)和內(nèi)容。

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