多目標(biāo)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型（多目標(biāo)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型有哪些）

大家好！今天讓創(chuàng)意嶺的小編來大家介紹下關(guān)于多目標(biāo)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型的問題，以下是小編對此問題的歸納整理，讓我們一起來看看吧。

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本文目錄:

• 1、麻煩用數(shù)學(xué)建模來做這題、急呢、謝啦哦、

• 2、對于2021亞太杯數(shù)學(xué)建模ABC題，你會如何分析？

• 3、優(yōu)化方法的理論體系

• 4、最優(yōu)化理論與方法的目錄

一、麻煩用數(shù)學(xué)建模來做這題、急呢、謝啦哦、

數(shù)學(xué)建模是一種統(tǒng)稱，指對一個問題給出數(shù)學(xué)模型，通常是公式，用來解決差不多的同種問題。比如E=MC^2 就是對光速和質(zhì)量關(guān)系建立的數(shù)學(xué)模型。但數(shù)學(xué)模型又不僅限于公式，等等。這個題目應(yīng)該是有現(xiàn)成的模型了，多目標(biāo)優(yōu)化問題。

設(shè)每月生產(chǎn)A- X噸，B-Y噸，成本為

Z1=2100X+4800Y，

利潤為

Z2=3600X+6500Y，

產(chǎn)能限制為

0<=X<=5，0<=Y<=8，9<=X+Y

在滿足產(chǎn)能限制條件的情況下，

最大化Z2，同時最小化Z1就行了。

因為Z1要小，所以-Z1就要大，那么最大化

Z=Z1*Z2就行了。

二、對于2021亞太杯數(shù)學(xué)建模ABC題，你會如何分析？

對于2021亞大杯數(shù)學(xué)建模ABC題，最重要的是選題分析和選題，一定要需要仔細(xì)閱讀，把握住題目中的關(guān)鍵詞。我們可以通過對相關(guān)知識的運(yùn)用，可以解決這三個問題。

問題a主要是關(guān)于解決外賣平臺、乘客、商家和消費(fèi)者之間的多目標(biāo)優(yōu)化問題，同時要求我們提出優(yōu)化策略。這個問題給出了外賣平臺、車手和其他四方之間的聯(lián)系和利益關(guān)系。這道題目涉及博弈論的相關(guān)知識，適用于邏輯分析能力強(qiáng)、解決戰(zhàn)略問題能力強(qiáng)的團(tuán)隊。同時，可以結(jié)合一定的背景消息，比如，美團(tuán)《中國實時分銷行業(yè)發(fā)展報告》，可作為背景補(bǔ)充。在答題中如果運(yùn)用到，應(yīng)該加一定的分?jǐn)?shù)。

問題b要求我們優(yōu)化中小城市地鐵運(yùn)營和建設(shè)的設(shè)計。本課題給出了呼和浩特地鐵1、2號線地鐵仿真的相關(guān)數(shù)據(jù)，補(bǔ)充了背景知識。本課題希望能提出一個確定車輛數(shù)量和發(fā)車間隔的優(yōu)化模型，一個合理的選址方案，一個錯峰出行方案，一個與地鐵和公交互補(bǔ)的新公交線路數(shù)量等，這是一個明顯的優(yōu)化問題。該問題可以通過VISSIM等交通仿真軟件來解決，這可能對解決交通問題的基礎(chǔ)的車隊很友好。

問題c的情景假設(shè)與人們非常接近，理解問題的難度系數(shù)算是較小。標(biāo)題已給出。附件1給出了一所大學(xué)20所學(xué)院和104個專業(yè)的28523名學(xué)生的分布數(shù)據(jù)。希望提出科學(xué)合理的運(yùn)動會優(yōu)化競賽模式。這個問題的分析方法和解決方案都比較常規(guī)，文章的完成程度可能會比較高，所以對這個問題進(jìn)行了深入的探討可以成功解決。             

三、優(yōu)化方法的理論體系

（一）一維優(yōu)化方法。主要有以下三類：1）基于盲人探路思想的試探法。以步長加倍策略將極值點(diǎn)確定在距離當(dāng)前點(diǎn)單步步長之內(nèi)，再以步長減半策略，使當(dāng)前點(diǎn)接近于極值點(diǎn)。主要有確定極值點(diǎn)所在區(qū)間的進(jìn)退法（應(yīng)用推論1）、一維盲人探路法（在進(jìn)退法基礎(chǔ)上增加一個模塊）、一階導(dǎo)數(shù)符號法（應(yīng)用推論2）等。2）區(qū)間削去法。比較區(qū)間內(nèi)兩點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值或計算一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)符號，根據(jù)單峰假設(shè)將極值點(diǎn)所在區(qū)間削短。主要有對稱等比例、對稱變比例區(qū)間分割法、平分法、切線交點(diǎn)法、自適應(yīng)二分法等。3）擬合函數(shù)尋點(diǎn)法。主要是二次擬合函數(shù)法（拋物線法）、三角擬合函數(shù)法、二次擬合函數(shù)定點(diǎn)法、一次擬合導(dǎo)函數(shù)法等。

（二）多維無約束優(yōu)化方法。主要有：1）負(fù)梯度方向法及基于盲人探路思想的折線負(fù)梯度方向法。2）多維二階近似式方向法及其近似算法。3）坐標(biāo)系擬均勻變換法，也稱為坐標(biāo)變換法，包括局部坐標(biāo)系的建立。4）獲得共軛方向的方法，主要有定義法、幾何法、待定系數(shù)法、兩次同方向?qū)?yōu)獲得法、連續(xù)兩次沿負(fù)梯度方向?qū)?yōu)獲得法（四尋法、六尋法、三尋法）等。5）共軛方向輪換法，主要有幾何法、待定系數(shù)法、正交向量組法等，包括方向組的概念。6）尋優(yōu)方向的數(shù)值算法實現(xiàn)，基于二次函數(shù)假設(shè)的數(shù)值偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)計算式，構(gòu)造二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣法、大步長探測等算法實例。7）擬合函數(shù)法，主要有多維二次擬合函數(shù)法和線性擬合梯度法。8）不求偏導(dǎo)數(shù)的方向組輪換法，主要有坐標(biāo)方向輪換法、自適應(yīng)坐標(biāo)下降法、經(jīng)典Powell基本算法和改進(jìn)算法、構(gòu)造共軛方向法等。9）無界多面體變形法，也稱為單形替換法或單純形法，與多維有約束復(fù)合形法的尋優(yōu)思想相同。

（三）多維有約束優(yōu)化方法。主要有：1）可行域內(nèi)直接求解法，主要包括網(wǎng)格法、有界多面體變形法（復(fù)合形法）、隨機(jī)方向法等。2）優(yōu)選可用方向法，尋優(yōu)到約束邊界之后，尋優(yōu)最好的方向繼續(xù)尋優(yōu)，是船到橋頭自然直的正確思路。3）半步法，沒有尋優(yōu)到約束邊界的時候采用無約束優(yōu)化方法，尋到之后退半步重新選擇新的尋優(yōu)方向，是未雨抽聊的研究思路。4）化簡法，主要有基于二階近似式構(gòu)造尋優(yōu)方向法、基于一階近似式線性化法。5）構(gòu)造無約束優(yōu)化問題序列法，采用加權(quán)組合的方式將目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題，權(quán)按照一定規(guī)律變化，從而構(gòu)造出一系列的無約束優(yōu)化方法，主要有圍墻法（內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法，須加固圍墻）和土堆法（外點(diǎn)懲罰函數(shù)法）。

（四）線性優(yōu)化方法。對于目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)均為設(shè)計變量線性函數(shù)的優(yōu)化問題，其約束邊界和目標(biāo)函數(shù)等值線均為直線，可行點(diǎn)的集合構(gòu)成一個凸集，且為凸多面體。如果存在最優(yōu)點(diǎn)，則必為該凸集的某個頂點(diǎn)。尋找最優(yōu)點(diǎn)就是在該凸多面體上確定最優(yōu)的頂點(diǎn)。主要方法為單純形法，在可行域多面體的某一個頂點(diǎn)出發(fā)，逐漸滑向更好的頂點(diǎn)，最終獲得最優(yōu)點(diǎn)。

（五）多目標(biāo)優(yōu)化方法。主要有以下幾類：1）窮舉類方法。直接求出所有分目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)，然后在各個目標(biāo)之間進(jìn)行協(xié)調(diào)，使其相互間作出適當(dāng)“讓步”，以便獲得整體最優(yōu)方案，選擇較好的設(shè)計點(diǎn)。或者列出所有方案，采用專家評議、領(lǐng)導(dǎo)拍板等方式確定最優(yōu)方案。2）直接重構(gòu)單目標(biāo)函數(shù)法。直接由各分目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造一個新的目標(biāo)函數(shù)，從而將多目標(biāo)的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)的。如主要目標(biāo)法、線性加權(quán)組合法、取最大分目標(biāo)函數(shù)值法、分目標(biāo)乘除法、分層序列法等，其中線性加權(quán)組合法最具有實用性。3）間接重構(gòu)單目標(biāo)函數(shù)法。將原分目標(biāo)函數(shù)適當(dāng)處理后構(gòu)造一個新的目標(biāo)函數(shù)。如理想點(diǎn)法、功率系數(shù)法（幾何平均法）、協(xié)調(diào)曲線法等。

（六）離散變量優(yōu)化方法。主要有三類：1）按連續(xù)變量處理法。取得最優(yōu)點(diǎn)后，再圓整。離散變量依次確定，原優(yōu)化問題依次降維。2）隨機(jī)法。根據(jù)實際情況隨機(jī)確定一些設(shè)計點(diǎn)，然后從中選取最優(yōu)點(diǎn)。或者在初始點(diǎn)周圍以隨機(jī)方式尋找多個設(shè)計點(diǎn)，取其最優(yōu)者作為當(dāng)前點(diǎn)繼續(xù)尋優(yōu)。3）窮舉法。如分支定界法、網(wǎng)格法。

（七）基于其他理論的優(yōu)化方法。實際上，存在很多不能由標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)模型描述的優(yōu)化問題，其數(shù)學(xué)模型的建立與評價均沒有固定的模式，可行域不連續(xù)，甚至只是一些零散的可行點(diǎn)，并且各可行點(diǎn)的優(yōu)劣難以用統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)衡量，比如旅行商最佳路徑問題、背包問題等。在日常生活當(dāng)中也存在著類似的問題，如股市運(yùn)作，何時何股入市最優(yōu)；戰(zhàn)爭發(fā)起，何時何地以什么方式最有利；個人學(xué)習(xí)計劃，先學(xué)習(xí)還是先工作，學(xué)什么課程做什么工作最好。借用其他學(xué)科的理論知識，可發(fā)展一些優(yōu)化方法，如遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、基于知識的專家系統(tǒng)算法、蟻群算法、模擬退火算法、分形與混沌算法等。這些方法均以全域優(yōu)化問題為研究對象，基于概率論和隨機(jī)理論，使多個盲人按相同規(guī)律尋求全域極值點(diǎn)，因此也稱為智能優(yōu)化算法。其共同特點(diǎn)是“無序中尋求有序，偶然中探索必然”。

（八）常見的優(yōu)化算例。1）一維單峰函數(shù)。用于一維優(yōu)化方法的檢驗。2）二維二次函數(shù)?？衫L圖直觀地表示尋優(yōu)過程，，檢驗算法最直接有效。因為優(yōu)化方法都是在單峰假設(shè)下提出來的，即假設(shè)目標(biāo)函數(shù)為二次函數(shù)，檢驗結(jié)果可信。3）多維二次函數(shù)。構(gòu)造共軛方向的優(yōu)化方法對于二維優(yōu)化問題效果明顯，但是需要在多維設(shè)計空間當(dāng)中檢驗。4）復(fù)雜函數(shù)。最典型的是Rosenbrock函數(shù)，由于存在一個彎彎的峽谷，成為許多優(yōu)化方法的滑鐵盧。5）目標(biāo)函數(shù)沒有數(shù)學(xué)表達(dá)式的優(yōu)化問題。如目標(biāo)函數(shù)的求取需要借助于其他計算算法。6）抽象優(yōu)化問題。設(shè)計變量沒有優(yōu)選值問題、目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)難以用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示。比如背包問題、旅行商問題、交通信號燈規(guī)劃問題等。對于這些問題，窮舉法是最可靠的算法。

（九）主要文獻(xiàn)。上述綜述主要是基于一下創(chuàng)新性文獻(xiàn)而完成的：[1] 例證多維二階近似式法的適用性[J]. 德州學(xué)院學(xué)報, 2017,33(6):12-14.[2] 多維二次擬合函數(shù)優(yōu)化方法[J]. 甘肅科學(xué)學(xué)報, 2017, 29(5):26-28.[3] 基于目標(biāo)函數(shù)梯度向量的相鄰方向共軛法[J].甘肅科學(xué)學(xué)報,2017,29(05):15-21.[4] 目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化的切線交點(diǎn)法[J]. 機(jī)械設(shè)計與研究(核心), 2017, 33(2):17-19,24.[5] The program verification of the three-seeking and six-seeking method based on the conjugate direction[A]. . 2017 5th International Conference on Machinery, Materials and Computing Technology(ICMMCT2017), March 25-26, 2017 Beijing, China. Advances in Engineering, volume 126, pp109-114.[6] 基于盲人探路尋優(yōu)思想的二階近似式定點(diǎn)法研究[J]. 中國石油大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）, 2017, 41(1): 144-149.[7] 盲人探路負(fù)梯度方向法[J]. 甘肅科學(xué)學(xué)報, 2016, 28(5):116-122.[8] Blind-walking optimization method[J]. Journal of Networks, 2010, 5(12):1458-1466.[9] 優(yōu)化方法[M]. 東南大學(xué)出版社, 2009.10[10] 隨機(jī)方向法改進(jìn)及其驗證[J]. 計算機(jī)仿真, 2009, 26(1):189-192.[11] 具有畸形約束極值點(diǎn)問題的優(yōu)化[J]. 中國科技論文在線學(xué)報, 2008, 3(8):562-565.[12] 形象化教學(xué)方法在“機(jī)械優(yōu)化設(shè)計”課程中的應(yīng)用[J]. 中國石油大學(xué)學(xué)報(社科版), 2008, 25(S): 90-92[13] 加固圍墻的內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法防越界驗證[J]. 機(jī)械設(shè)計, 2007, 24(S):111-112.[14]連續(xù)負(fù)梯度方向獲得共軛方向的六尋優(yōu)化方法[J]. 計算機(jī)科學(xué)與探索, 2019, 13(0).

四、最優(yōu)化理論與方法的目錄

第1篇線性規(guī)劃與整數(shù)規(guī)劃

1最優(yōu)化基本要素

1.1優(yōu)化變量

1.2目標(biāo)函數(shù)

1.3約束條件

1.4最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型及分類

1.5最優(yōu)化方法概述

習(xí)題

參考文獻(xiàn)

2線性規(guī)劃

2.1線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型

2.2線性規(guī)劃求解基本原理

2.3單純形方法

2.4初始基本可行解的獲取

習(xí)題

參考文獻(xiàn)

3整數(shù)規(guī)劃

3.1整數(shù)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型及窮舉法

3.2割平面法

3.3分枝定界法

習(xí)題

參考文獻(xiàn)

第2篇非線性規(guī)劃

4非線性規(guī)劃數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

4.1多元函數(shù)的泰勒展開式

4.2函數(shù)的方向?qū)?shù)與最速下降方向

4.3函數(shù)的二次型與正定矩陣

4.4無約束優(yōu)化的極值條件

4.5凸函數(shù)與凸規(guī)劃

4.6約束優(yōu)化的極值條件

習(xí)題

參考文獻(xiàn)

5一維最優(yōu)化方法

5.1搜索區(qū)間的確定

5.2黃金分割法

5.3二次插值法

5.4切線法

5.5格點(diǎn)法

習(xí)題

參考文獻(xiàn)

6無約束多維非線性規(guī)劃方法

6.1坐標(biāo)輪換法

6.2最速下降法

6.3牛頓法

6.4變尺度法

6.5共軛方向法

6.6單純形法

6.7最小二乘法

習(xí)題

參考文獻(xiàn)

7約束問題的非線性規(guī)劃方法

7.1約束最優(yōu)化問題的間接解法

7.2約束最優(yōu)化問題的直接解法

習(xí)題

參考文獻(xiàn)

8非線性規(guī)劃中的一些其他方法

8.1多目標(biāo)優(yōu)化

8.2數(shù)學(xué)模型的尺度變換

8.3靈敏度分析及可變?nèi)莶罘?/p>

習(xí)題

參考文獻(xiàn)

第3篇智能優(yōu)化方法

9啟發(fā)式搜索方法

9.1圖搜索算法

9.2啟發(fā)式評價函數(shù)

9.3A*搜索算法

習(xí)題

參考文獻(xiàn)

10Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化方法

10.1人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

10.2Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

10.3Hopfield網(wǎng)絡(luò)與最優(yōu)化問題

習(xí)題

參考文獻(xiàn)

11模擬退火法與均場退火法

11.1模擬退火法基礎(chǔ)

11.2模擬退火算法

11.3隨機(jī)型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

11.4均場退火

習(xí)題

參考文獻(xiàn)

12遺傳算法

12.1遺傳算法實現(xiàn)

12.2遺傳算法示例

12.3實數(shù)編碼的遺傳算法

習(xí)題

參考文獻(xiàn)

第4篇變分法與動態(tài)規(guī)劃

13變分法

13.1泛函

13.2泛函極值條件——?dú)W拉方程

13.3可動邊界泛函的極值

13.4條件極值問題

13.5利用變分法求解最優(yōu)控制問題

習(xí)題

參考文獻(xiàn)

14最大（?。┲翟?/p>

14.1連續(xù)系統(tǒng)的最大（?。┲翟?/p>

14.2應(yīng)用最大（?。┲翟砬蠼庾顑?yōu)控制問題

14.3離散系統(tǒng)的最大（?。┲翟?/p>

習(xí)題

參考文獻(xiàn)

15動態(tài)規(guī)劃

15.1動態(tài)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型與算法

15.2確定性多階段決策

15.3動態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)控制問題

習(xí)題

參考文獻(xiàn)

附錄A中英文索引

Part 1Linear Programming and Integer Programming

1Fundamentals of Optimization

1.1Optimal Variables

1.2Objective Function

1.3Constraints

1.4Mathematical Model and Classification of Optimization

1.5Introduction of Optimal Methods

Problems

References

2Linear Programming

2.1Mathematical Models of Linear Programming

2.2Basic Principles of Linear Programming

2.3Simplex Method

2.4Acquirement of Initial Basic Feasible Solution

Problems

References

3Integer Programming

3.1Mathematical Models of Integer Programming and Enumeration

Method

3.2Cutting Plane Method

3.3Branch and Bound Method

Problems

References

Part 2Non?Linear Programming

4Mathematical Basis of Non?Linear Programming

4.1Taylor Expansion of Multi?Variable Function

4.2Directional Derivative of Function and Steepest Descent Direction

4.3Quadratic Form and Positive Matrix

4.4Extreme Conditions of Unconstrained Optimum

4.5Convex Function and Convex Programming

4.6Extreme Conditions of Constrained Optimum

Problems

References

5One?Dimensional Optimal Methods

5.1Determination of Search Interval

5.2Golden Section Method

5.3Quadratic Interpolation Method

5.4Tangent Method

5.5Grid Method

Problems

References

6Non?Constraint Non?Linear Programming

6.1Coordinate Alternation Method

6.2Steepest Descent Method

6.3Newton?s Method

6.4Variable Metric Method

6.5Conjugate Gradient Algorithm

6.6Simplex Method

6.7Least Squares Method

Problems

References

7Constraint Optimal Methods

7.1Constraint Optimal Indirect Methods

7.2Constraint Optimal Direct Methods

Problems

References

8Other Methods in Non Linear Programming

8.1Multi Objectives Optimazation

8.2Metric Variation of a Mathematic Model

8.3Sensitivity Analysis and Flexible Tolerance Method

Problems

References

Part 3Intelligent Optimization Method

9Heuristic Search Method

9.1Graph Search Method

9.2Heuristic Evaluation Function

9.3A*Search Method

Problems

References

10Optimization Method Based on Hopfield Neural Networks

10.1Artificial Neural Networks Model

10.2Hopfield Neural Networks

10.3Hopfield Neural Networks and Optimization Problems

Problems

References

11Simulated Annealing Algorithm and Mean Field Annealing Algorithm

11.1Basis of Simulated Annealing Algorithm

11.2Simulated Annealing Algorithm

11.3Stochastic Neural Networks

11.4Mean Field Annealing Algorithm

Problems

References

12Genetic Algorithm

12.1Implementation Procedure of Genetic Algorithm

12.2Genetic Algorithm Examples

12.3Real?Number Encoding Genetic Algorithm

Problems

References

Part 4Variation Method and Dynamic Programming

13Variation Method

13.1Functional

13.2Functional Extreme Value Condition—Euler?s Equation

13.3Functional Extreme Value for Moving Boundary

13.4Conditonal Extreme Value

13.5Solving Optimal Control with Variation Method

Problems

References

14Maximum (Minimum) Principle

14.1Maximum (Minimum) Principle for Continuum System

14.2Applications of Maximum (Minimum) Principle

14.3Maximum (Minimum) Principle for Discrete System

Problems

References

15Dynamic Programming

15.1Mathematic Model and Algorithm of Dynamic Programming

15.2Deterministic Multi?Stage Process Decision

15.3Optimal Control of Dynamic System

Problems

References

Appendix AChinese and English Index

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