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指數(shù)函數(shù)的基本公式

發(fā)布時間：2023-04-13 11:32:33 稿源：創(chuàng)意嶺閱讀： 136

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本文目錄:

1、指數(shù)運算的8個運算法則都有什么，要全的
2、指數(shù)函數(shù)的積分公式是什么？
3、指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式怎么推導(dǎo)
4、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的運算公式

指數(shù)函數(shù)的基本公式

一、指數(shù)運算的8個運算法則都有什么，要全的

八個公式：

1、y=c(c為常數(shù)) y'=0；

2、y=x^n y'=nx^(n-1)；

3、y=a^x y'=a^xlna y=e^x y'=e^x；

4、y=logax y'=logae/x y=lnx y'=1/x ；

5、y=sinx y'=cosx ；

6、y=cosx y'=-sinx ；

7、y=tanx y'=1/cos^2x ；

8、y=cotx y'=-1/sin^2x。

運算法則：

加（減）法則：[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)'

乘法法則：[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x)

除法法則：[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2

指數(shù)函數(shù)的基本公式

擴(kuò)展資料

在某種情況下(基數(shù)>0，且不為1)，指數(shù)運算中的指數(shù)可以通過對數(shù)運算求解得到。

冪（n^m）中的n，或者對數(shù)（x=logaN）中的 a（a>0且a不等于1）。

在指數(shù)函數(shù)的定義表達(dá)式中，在a^x前的系數(shù)必須是數(shù)1，自變量x必須在指數(shù)的位置上，且不能是x的其他表達(dá)式，否則，就不是指數(shù)函數(shù)。

當(dāng)a>1時，指數(shù)函數(shù)對于x的負(fù)數(shù)值非常平坦，對于x的正數(shù)值迅速攀升，在 x等于0的時候，y等于1。當(dāng)0<a<1時，指數(shù)函數(shù)對于x的負(fù)數(shù)值迅速攀升，對于x的正數(shù)值非常平坦，在x等于0的時候，y等于1。

參考資料來源：百度百科-指數(shù)

二、指數(shù)函數(shù)的積分公式是什么？

指數(shù)函數(shù)的積分公式是

∫e^x dx = e^x+c

∫e^(-x) dx = -e^x+c

(c為常數(shù))

因為e^x的微分還是e^x，所以上面的積分可以直接得到~

在這里補(bǔ)充一下一般指數(shù)函數(shù)的積分：

y=a^x 的積分為

(a^x)/ln(a) + c

-------------------------

指數(shù)函數(shù)的基本公式

擴(kuò)展資料

積分是微分的逆運算，即知道了函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，反求原函數(shù)。在應(yīng)用上，積分作用不僅如此，它被大量應(yīng)用于求和，通俗的說是求曲邊三角形的面積，這巧妙的求解方法是積分特殊的性質(zhì)決定的。主要分為定積分、不定積分以及其他積分。積分的性質(zhì)主要有線性性、保號性、極大值極小值、絕對連續(xù)性、絕對值積分等。

參考資料來源：百度百科-積分公式

三、指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式怎么推導(dǎo)

解：

設(shè)：指數(shù)函數(shù)為：y=a^x

y'=lim【△x→0】[a^(x+△x)-a^x]/△x

y'=lim【△x→0】{(a^x)[(a^(△x)]-a^x}/△x

y'=lim【△x→0】(a^x){[(a^(△x)]-1}/△x

y'=(a^x)lim【△x→0】{[(a^(△x)]-1}/△x…………(1)

設(shè)：[(a^(△x)]-1=M

則：△x=log【a】(M+1)

因此，有：‘

{[(a^(△x)]-1}/△x

=M/log【a】(M+1)

=1/log【a】[(M+1)^(1/M)]

當(dāng)△x→0時，有M→0

故：

lim【△x→0】{[(a^(△x)]-1}/△x

=lim【M→0】1/log【a】[(M+1)^(1/M)]

=1/log【a】e

=lna

代入(1)，有：

y'=(a^x)lim【△x→0】{[(a^(△x)]-1}/△x

y'=(a^x)lna

證畢。

四、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的運算公式

1對數(shù)的概念

如果a(a>0，且a≠1)的b次冪等于N，即ab=N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作：logaN=b,其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

由定義知：

①負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù);

②a>0且a≠1,N>0;

③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.

特別地，以10為底的對數(shù)叫常用對數(shù)，記作log10N,簡記為lgN；以無理數(shù)e(e=2.718

28…)為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，記作logeN，簡記為lnN.

2對數(shù)式與指數(shù)式的互化

式子名稱abN指數(shù)式ab=N(底數(shù))(指數(shù))(冪值)對數(shù)式logaN=b(底數(shù))(對數(shù))(真數(shù))

3對數(shù)的運算性質(zhì)

如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么

(1)loga(MN)=logaM+logaN.

(2)logaMN=logaM-logaN.

(3)logaMn=nlogaM

(n∈R).

問：①公式中為什么要加條件a>0,a≠1，M>0,N>0?

②logaan=?

(n∈R)

③對數(shù)式與指數(shù)式的比較.(學(xué)生填表)

式子ab=NlogaN=b名稱a—冪的底數(shù)

b—

N—a—對數(shù)的底數(shù)

b—

N—運

算

性

質(zhì)am·an=am+n

am÷an=

(am)n=

(a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN

logaMN=

logaMn=(n∈R)

(a>0,a≠1,M>0,N>0)

難點疑點突破

對數(shù)定義中，為什么要規(guī)定a＞0,，且a≠1?

理由如下：

①若a＜0，則N的某些值不存在，例如log-28

②若a=0，則N≠0時b不存在；N=0時b不惟一，可以為任何正數(shù)

③若a=1時，則N≠1時b不存在；N=1時b也不惟一，可以為任何正數(shù)

為了避免上述各種情況，所以規(guī)定對數(shù)式的底是一個不等于1的正數(shù)

解題方法技巧

(1)將下列指數(shù)式寫成對數(shù)式：

①54=625；②2-6=164；③3x=27；④13m=573.

（2）將下列對數(shù)式寫成指數(shù)式：

①log1216=-4；②log2128=7；

③log327=x；④lg0.01=-2；

⑤ln10=2.303；⑥lgπ=k.

解析由對數(shù)定義：ab=NlogaN=b.

解答(1)①log5625=4.②log2164=-6.

③log327=x.④log135.73=m.

解題方法

指數(shù)式與對數(shù)式的互化，必須并且只需緊緊抓住對數(shù)的定義：ab=NlogaN=b.(2)①12-4=16.②27=128.③3x=27.

④10-2=0.01.⑤e2.303=10.⑥10k=π.

根據(jù)下列條件分別求x的值：

(1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0；

(3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1.

解析(1)對數(shù)式化指數(shù)式，得：x=8-23=?

(2)log5x=20=1.

x=?

(3)31+log32=3×3log32=?27=x?

(4)2+3=x-1=1x.

x=?

解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.

(2)log5x=20=1，x=51=5.

(3)logx27=3×3log32=3×2=6，

∴x6=27=33=(3)6,故x=3.

(4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3.

解題技巧

①轉(zhuǎn)化的思想是一個重要的數(shù)學(xué)思想，對數(shù)式與指數(shù)式有著密切的關(guān)系，在解決有關(guān)問題時，經(jīng)常進(jìn)行著兩種形式的相互轉(zhuǎn)化.

②熟練應(yīng)用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3

已知logax=4,logay=5，求A=〔x·3x-1y2〕12的值.

解析思路一，已知對數(shù)式的值，要求指數(shù)式的值，可將對數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，再利用指數(shù)式的運算求值；

思路二，對指數(shù)式的兩邊取同底的對數(shù)，再利用對數(shù)式的運算求值

解答解法一∵logax=4,logay=5,

∴x=a4,y=a5,

∴A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1.

解法二對所求指數(shù)式兩邊取以a為底的對數(shù)得

logaA=loga(x512y-13)

=512logax-13logay=512×4-13×5=0,

∴A=1.

解題技巧

有時對數(shù)運算比指數(shù)運算來得方便，因此以指數(shù)形式出現(xiàn)的式子，可利用取對數(shù)的方法，把指數(shù)運算轉(zhuǎn)化為對數(shù)運算.4

設(shè)x,y均為正數(shù)，且x·y1+lgx=1(x≠110),求lg(xy)的取值范圍.

解析一個等式中含兩個變量x、y，對每一個確定的正數(shù)x由等式都有惟一的正數(shù)y與之對應(yīng)，故y是x的函數(shù)，從而lg(xy)也是x的函數(shù).因此求lg(xy)的取值范圍實際上是一個求函數(shù)值域的問題，怎樣才能建立這種函數(shù)關(guān)系呢?能否對已知的等式兩邊也取對數(shù)?

解答∵x>0,y>0,x·y1+lgx=1,

兩邊取對數(shù)得：lgx+(1+lgx)lgy=0.

即lgy=-lgx1+lgx(x≠110,lgx≠-1).

令lgx=t,

則lgy=-t1+t(t≠-1).

∴l(xiāng)g(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t.

解題規(guī)律

對一個等式兩邊取對數(shù)是解決含有指數(shù)式和對數(shù)式問題的常用的有效方法；而變量替換可把較復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為較簡單的問題.設(shè)S=t21+t,得關(guān)于t的方程t2-St-S=0有實數(shù)解.

∴Δ=S2+4S≥0，解得S≤-4或S≥0,

故lg(xy)的取值范圍是(-∞,-4〕∪〔0,+∞).

求值：

(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；