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    一元數(shù)據(jù)和多元數(shù)據(jù)

    發(fā)布時間:2023-04-07 12:44:23     稿源: 創(chuàng)意嶺    閱讀: 54        

    大家好!今天讓創(chuàng)意嶺的小編來大家介紹下關(guān)于一元數(shù)據(jù)和多元數(shù)據(jù)的問題,以下是小編對此問題的歸納整理,讓我們一起來看看吧。

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    本文目錄:

    一元數(shù)據(jù)和多元數(shù)據(jù)

    一、元數(shù)據(jù)是指

    元數(shù)據(jù)是指用來描述數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù),也可以稱為"數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)"。它是用來解釋和描述數(shù)據(jù)內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、質(zhì)量、來源、語義、格式等方面的信息,以便更好地管理、發(fā)現(xiàn)、理解和利用數(shù)據(jù)。元數(shù)據(jù)包含了數(shù)據(jù)的屬性、特征、定義、關(guān)系、分類、標(biāo)識、來源、格式等方面的信息,它可以用來解釋數(shù)據(jù)的意義、用途和價值。

    一元數(shù)據(jù)和多元數(shù)據(jù)

    元數(shù)據(jù)可以分為三個層次,即概念層元數(shù)據(jù)、邏輯層元數(shù)據(jù)和物理層元數(shù)據(jù)。概念層元數(shù)據(jù)描述了數(shù)據(jù)的意義、含義和規(guī)則,邏輯層元數(shù)據(jù)描述了數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)、組織和關(guān)系,物理層元數(shù)據(jù)描述了數(shù)據(jù)的存儲和訪問方式。一元數(shù)據(jù)和多元數(shù)據(jù)

    元數(shù)據(jù)對于數(shù)據(jù)的管理、組織、共享和利用具有重要作用。通過對元數(shù)據(jù)的管理和利用,可以更好地發(fā)現(xiàn)和理解數(shù)據(jù),減少數(shù)據(jù)冗余和錯誤,提高數(shù)據(jù)的可重用性和可維護性,提高數(shù)據(jù)的質(zhì)量和價值。元數(shù)據(jù)在各種信息管理和數(shù)據(jù)分析領(lǐng)域都具有廣泛的應(yīng)用。

    二、多元統(tǒng)計分析概述

    后期會把每一章的學(xué)習(xí)筆記鏈接加上

    多元統(tǒng)計分析 是研究多個隨機變量之間相互依賴關(guān)系及其內(nèi)在統(tǒng)計規(guī)律的一門學(xué)科

    在統(tǒng)計學(xué)的基本內(nèi)容匯總,只考慮一個或幾個因素對一個觀測指標(biāo)(變量)的影響大小的問題,稱為 一元統(tǒng)計分析

    若考慮一個或幾個因素對兩個或兩個以上觀測指標(biāo)(變量)的影響大小的問題,或者多個觀測指標(biāo)(變量)的相互依賴關(guān)系,既稱為 多元統(tǒng)計分析

    有兩大類,包括:

    將數(shù)據(jù)歸類,找出他們之間的聯(lián)系和內(nèi)在規(guī)律。

    構(gòu)造分類模型一般采用 聚類分析 判別分析 技術(shù)

    在眾多因素中找出各個變量中最佳的子集合,根據(jù)子集合所包含的信心描述多元系統(tǒng)的結(jié)果及各個因子對系統(tǒng)的影響,舍棄次要因素,以簡化系統(tǒng)結(jié)構(gòu),認(rèn)識系統(tǒng)的內(nèi)核(有點做單細(xì)胞降維的意思)

    可采用 主成分分析 因子分析 、 對應(yīng)分析 等方法。

    多元統(tǒng)計分析的內(nèi)容主要有: 多元數(shù)據(jù)圖示法 、 多元線性相關(guān) 回歸分析 判別分析 聚類分析 、 主成分分析 因子分析 、 對應(yīng)分析 典型相關(guān)分析 等。

    多元數(shù)據(jù)是指具有多個變量的數(shù)據(jù)。如果將每個變量看作一個隨機向量的話,多個變量形成的數(shù)據(jù)集將是一個隨機矩陣,所以多元數(shù)據(jù)的基本表現(xiàn)形式是一個矩陣。對這些數(shù)據(jù)矩陣進行數(shù)學(xué)表示是我們的首要任務(wù)。也就是說,多元數(shù)據(jù)的基本運算是矩陣運算,而R語言是一個優(yōu)秀的矩陣運算語言,這也是我們應(yīng)用它的一大優(yōu)勢。

    直觀分析即圖示法,是進行數(shù)據(jù)分析的重要輔助手段。例如,通過兩變量的散點圖可以考察異常的觀察值對樣本相關(guān)系數(shù)的影響,利用矩陣散點圖可以考察多元之間的關(guān)系,利用多元箱尾圖可以比較幾個變量的基本統(tǒng)計量的大小差別。

    相關(guān)分析就是通過對大量數(shù)字資料的觀察,消除偶然因素的影響,探求現(xiàn)象之間相關(guān)關(guān)系的密切程度和表現(xiàn)形式。在經(jīng)濟系統(tǒng)中,各個經(jīng)濟變量常常存在內(nèi)在的關(guān)系。例如,經(jīng)濟增長與財政收人、人均收入與消費支出等。在這些關(guān)系中,有一些是嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系,這類關(guān)系可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示出來。還有一些是非確定的關(guān)系,一個變量產(chǎn)生變動會影響其他變量,使其產(chǎn)生變化。這種變化具有隨機的特性,但是仍然遵循一定的規(guī)律。函數(shù)關(guān)系很容易解決,而那些非確定的關(guān)系,即相關(guān)關(guān)系,才是我們所關(guān)心的問題。

    回歸分析研究的主要對象是客觀事物變量間的統(tǒng)計關(guān)系。它是建立在對客觀事物進行大量實驗和觀察的基礎(chǔ)上,用來尋找隱藏在看起來不確定的現(xiàn)象中的統(tǒng)計規(guī)律的方法?;貧w分析不僅可以揭示自變量對因變量的影響大小,還可以用回歸方程進行預(yù)測和控制。回歸分析的主要研究范圍包括:

    (1) 線性回歸模型: 一元線性回歸模型 , 多元線性回歸模型

    (2) 回歸模型的診斷: 回歸模型基本假設(shè)的合理性,回歸方程擬合效果的判定,選擇回歸函數(shù)的形式。

    (3) 廣義線性模型: 含定性變量的回歸 自變量含定性變量 , 因變量含定性變量

    (4) 非線性回歸模型: 一元非線性回歸 , 多元非線性回歸

    在實際研究中,經(jīng)常遇到一個隨機變量隨一個或多個非隨機變量的變化而變化的情況,而這種變化關(guān)系明顯呈非線性。怎樣用一個較好的模型來表示,然后進行估計與預(yù)測,并對其非線性進行檢驗就成為--個重要的問題。在經(jīng)濟預(yù)測中,常用多元回歸模型反映預(yù)測量與各因素之間的依賴關(guān)系,其中,線性回歸分析有著廣泛的應(yīng)用。但客觀事物之間并不一定呈線性關(guān)系,在有些情況下,非線性回歸模型更為合適,只是建立起來較為困難。在實際的生產(chǎn)過程中,生產(chǎn)管理目標(biāo)的參量與加工數(shù)量存在相關(guān)關(guān)系。隨著生產(chǎn)和加工數(shù)量的增加,生產(chǎn)管理目標(biāo)的參量(如生產(chǎn)成本和生產(chǎn)工時等)大多不是簡單的線性增加,此時,需采用非線性回歸分析進行分析。

    鑒于統(tǒng)計模型的多樣性和各種模型的適應(yīng)性,針對因變量和解釋變量的取值性質(zhì),可將統(tǒng)計模型分為多種類型。通常將自變量為定性變量的線性模型稱為 一般線性模型 ,如實驗設(shè)計模型、方差分析模型; 將因變量為非正態(tài)分布的線性模型稱為 廣義線性模型 ,如 Logistic回歸模型 、 對數(shù)線性模型 Cox比例風(fēng)險模型 。

    1972年,Nelder對經(jīng)典線性回歸模型作了進一步的推廣,建立了統(tǒng)一的理論和計算框架,對回歸模型在統(tǒng)計學(xué)中的應(yīng)用產(chǎn)生了重要影響。這種新的線性回歸模型稱為廣義線性模型( generalized linear models,GLM)。

    廣義線性模型是多元線性回歸模型的推廣,從另一個角度也可以看作是非線性模型的特例,它們具有--些共性,是其他非線性模型所不具備的。它與典型線性模型的區(qū)別是其隨機誤差的分布 不是正態(tài)分布 ,與非線性模型的最大區(qū)別則在于非線性模型沒有明確的隨機誤差分布假定,而廣義線性模型的 隨機誤差的分布是可以確定的 。廣義線性模型 不僅包括離散變量,也包括連續(xù)變量 。正態(tài)分布也被包括在指數(shù)分布族里,該指數(shù)分布族包含描述發(fā)散狀況的參數(shù),屬于雙參數(shù)指數(shù)分布族。

    判別分析是多元統(tǒng)計分析中用于 判別樣本所屬類型 的一種統(tǒng)計分析方法。所謂判別分析法,是在已知的分類之下,一旦有新的樣品時,可以利用此法選定一個判別標(biāo)準(zhǔn),以判定將該新樣品放置于哪個類別中。判別分析的目的是對已知分類的數(shù)據(jù)建立由數(shù)值指標(biāo)構(gòu)成的 分類規(guī)則 ,然后把這樣的規(guī)則應(yīng)用到未知分類的樣品中去分類。例如,我們獲得了患胃炎的病人和健康人的一些化驗指標(biāo),就可以從這些化驗指標(biāo)中發(fā)現(xiàn)兩類人的區(qū)別。把這種區(qū)別表示為一個判別公式,然后對那些被懷疑患胃炎的人就可以根據(jù)其化驗指標(biāo)用判別公式來進行輔助診斷。

    聚類分析是研究 物以類聚 的--種現(xiàn)代統(tǒng)計分析方法。過去人們主要靠經(jīng)驗和專業(yè)知識作定性分類處理,很少利用數(shù)學(xué)方法,致使許多分類帶有主觀性和任意性,不能很好地揭示客觀事物內(nèi)在的本質(zhì)差別和聯(lián)系,特別是對于多因素、多指標(biāo)的分類問題,定性分類更難以實現(xiàn)準(zhǔn)確分類。為了克服定性分類的不足,多元統(tǒng)計分析逐漸被引人到數(shù)值分類學(xué)中,形成了聚類分析這個分支。

    聚類分析是一種分類技術(shù),與多元分析的其他方法相比,該方法較為粗糙,理論上還不完善,但應(yīng)用方面取得了很大成功。 聚類分析 回歸分析 、 判別分析 一起被稱為多元分析的三個主要方法。

    在實際問題中,研究多變量問題是經(jīng)常遇到的,然而在多數(shù)情況下,不同變量之間有一定相關(guān)性,這必然增加了分析問題的復(fù)雜性。主成分分析就是一種 通過降維技術(shù)把多個指標(biāo)化為少數(shù)幾個綜合指標(biāo) 的統(tǒng)計分析方法。如何將具有錯綜復(fù)雜關(guān)系的指標(biāo)綜合成幾個較少的成分,使之既有利于對問題進行分析和解釋,又便于抓住主要矛盾作出科學(xué)的評價,此時便可以用主成分分析方法。

    因子分析是主成分分析的推廣,它也是一種把多個變量化為少數(shù)幾個綜合變量的多元分析方法,但其目的是 用有限個不可觀測的隱變量來解釋原變量之間的相關(guān)關(guān)系 。主成分分析通過線性組合將原變量綜合成幾個主成分,用較少的綜合指標(biāo)來代替原來較多的指標(biāo)(變量)。在多元分析中,變量間往往存在相關(guān)性,是什么原因使變量間有關(guān)聯(lián)呢? 是否存在不能直接觀測到的但影響可觀測變量變化的公共因子呢?

    因子分析就是尋找這些公共因子的統(tǒng)計分析方法,它是 在主成分的基礎(chǔ)上構(gòu)筑若干意義較為明確的公因子,以它們?yōu)榭蚣芊纸庠兞?,以此考察原變量間的聯(lián)系與區(qū)別 。例如,在研究糕點行業(yè)的物價變動中,糕點行業(yè)品種繁多、多到幾百種甚至上千種,但無論哪種樣式的糕點,用料不外乎面粉、食用油、糖等主要原料。那么,面粉、食用油、糖就是眾多糕點的公共因子,各種糕點的物價變動與面粉、食用油、糖的物價變動密切相關(guān),要了解或控制糕點行業(yè)的物價變動,只要抓住面粉、食用油和糖的價格即可。

    對應(yīng)分析又稱為相應(yīng)分析,由法國統(tǒng)計學(xué)家J.P.Beozecri于 1970年提出。對應(yīng)分析是在因子分析基礎(chǔ)之上發(fā)展起來的一種多元統(tǒng)計方法,是Q型和R型因子分析的聯(lián)合應(yīng)用。在經(jīng)濟管理數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析中,經(jīng)常要處理三種關(guān)系,即 樣品之間的關(guān)系(Q型關(guān)系)、變量間的關(guān)系(R型關(guān)系)以及樣品與變量之間的關(guān)系(對應(yīng)型關(guān)系) 。例如,對某一行業(yè)所屬的企業(yè)進行經(jīng)濟效益評價時,不僅要研究經(jīng)濟效益指標(biāo)間的關(guān)系,還要將企業(yè)按經(jīng)濟效益的好壞進行分類,研究哪些企業(yè)與哪些經(jīng)濟效益指標(biāo)的關(guān)系更密切一些,為決策部門正確指導(dǎo)企業(yè)的生產(chǎn)經(jīng)營活動提供更多的信息。這就需要有一種統(tǒng)計方法, 將企業(yè)(樣品〉和指標(biāo)(變量)放在一起進行分析、分類、作圖,便于作經(jīng)濟意義.上的解釋 。解決這類問題的統(tǒng)計方法就是對應(yīng)分析。

    在相關(guān)分析中,當(dāng)考察的一組變量僅有兩個時,可用 簡單相關(guān)系數(shù) 來衡量它們;當(dāng)考察的一組變量有多個時,可用 復(fù)相關(guān)系數(shù) 來衡量它們。大量的實際問題需要我們把指標(biāo)之間的聯(lián)系擴展到兩組變量,即 兩組隨機變量之間的相互依賴關(guān)系 。典型相關(guān)分析就是用來解決此類問題的一種分析方法。它實際上是 利用主成分的思想來討論兩組隨機變量的相關(guān)性問題,把兩組變量間的相關(guān)性研究化為少數(shù)幾對變量之間的相關(guān)性研究,而且這少數(shù)幾對變量之間又是不相關(guān)的,以此來達(dá)到化簡復(fù)雜相關(guān)關(guān)系的目的 。

    典型相關(guān)分析在經(jīng)濟管理實證研究中有著廣泛的應(yīng)用,因為許多經(jīng)濟現(xiàn)象之間都是多個變量對多個變量的關(guān)系。例如,在研究通貨膨脹的成因時,可把幾個物價指數(shù)作為一組變量,把若干個影響物價變動的因素作為另一組變量,通過典型相關(guān)分析找出幾對主要綜合變量,結(jié)合典型相關(guān)系數(shù)對物價上漲及通貨膨脹的成因,給出較深刻的分析結(jié)果。

    多維標(biāo)度分析( multidimensional scaling,MDS)是 以空間分布的形式表現(xiàn)對象之間相似性或親疏關(guān)系 的一種多元數(shù)據(jù)分析方法。1958年,Torgerson 在其博士論文中首次正式提出這一方法。MDS分析多見于市場營銷,近年來在經(jīng)濟管理領(lǐng)域的應(yīng)用日趨增多,但國內(nèi)在這方面的應(yīng)用報道極少。多維標(biāo)度法通過一系列技巧,使研究者識別構(gòu)成受測者對樣品的評價基礎(chǔ)的關(guān)鍵維數(shù)。例如,多維標(biāo)度法常用于市場研究中,以識別構(gòu)成顧客對產(chǎn)品、服務(wù)或者公司的評價基礎(chǔ)的關(guān)鍵維數(shù)。其他的應(yīng)用如比較自然屬性(比如食品口味或者不同的氣味),對政治候選人或事件的了解,甚至評估不同群體的文化差異。多維標(biāo)度法 通過受測者所提供的對樣品的相似性或者偏好的判斷推導(dǎo)出內(nèi)在的維數(shù) 。一旦有數(shù)據(jù),多維標(biāo)度法就可以用來分析:①評價樣品時受測者用什么維數(shù);②在特定情況下受測者可能使用多少維數(shù);③每個維數(shù)的相對重要性如何;④如何獲得對樣品關(guān)聯(lián)的感性認(rèn)識。

    20世紀(jì)七八十年代,是現(xiàn)代科學(xué)評價蓬勃興起的年代,在此期間產(chǎn)生了很多種評價方法,如ELECTRE法、多維偏好分析的線性規(guī)劃法(LINMAP)、層次分析法(AHP)、數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法(EDA)及逼近于理想解的排序法(TOPSIS)等,這些方法到現(xiàn)在已經(jīng)發(fā)展得相對完善了,而且它們的應(yīng)用也比較廣泛。

    而我國現(xiàn)代科學(xué)評價的發(fā)展則是在20世紀(jì)八九十年代,對評價方法及其應(yīng)用的研究也取得了很大的成效,把綜合評價方法應(yīng)用到了國民經(jīng)濟各個部門,如可持續(xù)發(fā)展綜合評價、小康評價體系、現(xiàn)代化指標(biāo)體系及國際競爭力評價體系等。

    多指標(biāo)綜合評價方法具有以下特點: 包含若干個指標(biāo),分別說明被評價對象的不同方面 ;評價方法最終要 對被評價對象作出一個整體性的評判,用一個總指標(biāo)來說明被評價對象的一般水平 。

    目前常用的綜合評價方法較多, 如綜合評分法、綜合指數(shù)法、秩和比法、層次分析法、TOPSIS法、模糊綜合評判法、數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法 等。

    R -- 永遠(yuǎn)滴神~

    三、多元線性回歸的模型可以是一元模型嗎

    第11章 一元線性回歸

    11.1 變量間關(guān)系的度量

    變量之間的關(guān)系可分為兩種類型,即函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系。其中,函數(shù)關(guān)系是一一確定的關(guān)系,給定一個自變量x,因變量y依確定的關(guān)系取相應(yīng)的值;變量之間存在的不確定性的數(shù)量關(guān)系,則稱為相關(guān)關(guān)系。

    相關(guān)系數(shù)

    相關(guān)關(guān)系可以通過散點圖和相關(guān)系數(shù)來反映。相關(guān)系數(shù)是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算的度量兩個變量之間線性關(guān)系強度的統(tǒng)計量,其計算公式為:

    按照上述公式計算的相關(guān)系數(shù)也稱為線性相關(guān)系數(shù),或稱為Pearson相關(guān)系數(shù)。

    r的取值范圍是[-1, 1]。若0 < r ≤ 1,表明x與y之間存在正線性相關(guān)關(guān)系;若-1 ≤ r < 0,表明x與y之間存在負(fù)線性相關(guān)關(guān)系。

    r具有對稱性,rxy = ryx。

    11.2 一元線性回歸

    描述因變量y如何依賴自變量x和誤差項ε的方程稱為回歸模型。只涉及一個自變量的一元線性回歸模型可表示為:

    回歸模型中,假定ε的期望值等于0,因此y的期望值E(y) = β0 + β1x,也就是說,y的期望值是x的線性函數(shù)。描述因變量y的期望值如何依賴于自變量x的方程稱為回歸方程。

    若總體回歸參數(shù) β0和 β1是未知的,必須利用樣本去估計它們。用樣本統(tǒng)計量去代替回歸方程中的未知參數(shù) β0和 β1,這時就得到了估計的回歸方程。對于一元線性回歸,估計的回歸方程形式為:

    最小二乘法就是通過使因變量的觀測值yi與估計值之間的離差平方和最小來估計β0和 β1。

    回歸直線與各觀測點的接近程度稱為回歸直線對數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)度。因變量y的取值是不同的,y取值的這種波動稱為變差。n次觀測值的總變差可由這些離差的平方和來表示,稱為總平方和(SST):

    總平方和可以分解為兩部分:回歸值與均值的離差平方和稱為回歸平方和(SSR);實際觀測點與回歸值的殘差的平方和稱為殘差平方和或誤差平方和(SSE)。回歸平方和占總平方和的比例稱為判定系數(shù)(R2):

    判定系數(shù)R2測度了回歸直線對觀測數(shù)據(jù)的擬合程度。R2的取值范圍是[0, 1],R2越接近1,回歸的擬合度就越好。相關(guān)系數(shù)r實際上是判定系數(shù)的平方根。

    判定系數(shù)可用于度量回歸直線的擬合程度,而殘差平方和則可以說明實際觀測值與回歸估計值之間的差異程度。估計標(biāo)準(zhǔn)誤差就是度量各實際觀測點在直線周圍的散布狀況的一個統(tǒng)計量,它是均方殘差的平方根,用se來表示,其計算公式為:

    估計標(biāo)準(zhǔn)誤差是對誤差項ε的標(biāo)準(zhǔn)差σ的估計,反映了用估計的回歸方程預(yù)測因變量y時預(yù)測誤差的大小。

    11.3 利用回歸方程進行預(yù)測

    利用估計的回歸方程,對于x的一個特定值x0,求出y的一個估計值的區(qū)間就是區(qū)間估計。區(qū)間估計包括置信區(qū)間估計和預(yù)測區(qū)間估計。

    置信區(qū)間估計

    置信區(qū)間估計是對x的一個給定值x0,求出y的平均值的區(qū)間估計。設(shè)x0為自變量x的一個特定值或給定值;E(y0)為給定x0時因變量y的平均值或期望值。一般來說,估計值不能精確地等于E(y0)。對于給定的x0,可以使用以下公式計算估計值標(biāo)準(zhǔn)差:

    有了估計值的標(biāo)準(zhǔn)差之后,對于給定的x0,E(y0)在1-α置信水平下的置信區(qū)間可以表示為:

    當(dāng)x0=x均值時,估計值y的標(biāo)準(zhǔn)差的估計量最小,估計是最準(zhǔn)確的。x0偏離均值越遠(yuǎn),y的平均值的置信區(qū)間就變得越寬,估計效果越不好。

    預(yù)測區(qū)間估計

    預(yù)測區(qū)間估計是對x的一個給定值x0,求出y的一個個別值的區(qū)間估計。

    為求出預(yù)測區(qū)間,首先必須知道用于估計的標(biāo)準(zhǔn)差,y的一個個別值y0的標(biāo)準(zhǔn)差的估計量sind計算公式如下:

    對于給定的x0,y0在1-α置信水平下的預(yù)測區(qū)間可表示為:

    和置信區(qū)間相比,預(yù)測區(qū)間的根號內(nèi)多了一個1。因此,即使是對同一個x0,置信區(qū)間和預(yù)測區(qū)間的寬度也是不一樣的,預(yù)測區(qū)間要比置信區(qū)間寬一些。兩者的差別表明,估計y的平均值比預(yù)測y的一個特定值更精確。

    第12章 多元線性回歸

    12.1 多元回歸模型

    在實際問題中,影響因變量的因素往往有多個,這種一個因變量同多個自變量的回歸問題就是多元回歸。

    設(shè)因變量為y,k個自變量分別為x1,x2,…,xk,描述因變量y如何依賴自變量x1,x2,…,xk和誤差項ε的方程稱為多元回歸模型:

    與一元線性回歸類似,多元線性回歸模型的ε項有以下基本假定:誤差項ε是一個期望為0的隨機變量;對于自變量的所有值,ε的方差σ2都相同;誤差項ε是一個服從正態(tài)分布的隨機變量,且相互獨立,ε~N(0, σ2)。

    根據(jù)回歸模型的假定,有:

    上式稱為多元回歸方程,它描述了因變量y的期望值與自變量之間的關(guān)系。

    回歸方程中的參數(shù)β是未知的,需要利用樣本數(shù)據(jù)去估計它們,當(dāng)用樣本統(tǒng)計量去估計回歸方程中的位置參數(shù)時,就得到了估計的多元回歸方程:

    回歸方程中樣本統(tǒng)計量也可以根據(jù)最小二乘法求得,也就是使殘差平方和最小,讓殘差平方和關(guān)于參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為零可以求解。

    12.2 顯著性檢驗

    線性關(guān)系檢驗是檢驗因變量y與k個自變量之間的關(guān)系是否顯著,也稱為總體顯著性檢驗。檢驗的具體步驟如下:

    提出假設(shè)。

    H0:β1=β2=…=βk=0

    H1:β1,β2,…,βk至少有一個不等于0

    計算檢驗系數(shù)的統(tǒng)計量F。

    回歸平方和SSR和殘差平方和SSE的計算方式同一元回歸。

    作出統(tǒng)計決策。

    給定顯著性水平α, 根據(jù)分子自由度=k, 分母自由度 = n - k - 1查F分布表得Fα。若F > Fα,則拒絕原假設(shè),即自變量與因變量的線性關(guān)系是顯著的。

    在回歸方程通過線性關(guān)系檢驗后,還要對各個回歸系數(shù)βi有選擇地進行一次或多次檢驗?;貧w系數(shù)檢驗的具體步驟如下:

    提出假設(shè)。對于任意參數(shù)βi( i = 1, 2, …, k )有

    H0:βi = 0

    H1:βi ≠ 0

    計算檢驗的統(tǒng)計量t

    作出統(tǒng)計決策。給定顯著性水平α, 根據(jù)自由度 = n - k - 1查t分布表,得tα/2的值。若 | t | > tα/2,則拒絕原假設(shè),自變量對因變量的影響是顯著的。

    12.3 多重共線性與變量選擇

    當(dāng)回歸模型中使用兩個或兩個以上的自變量彼此相關(guān)時,則稱回歸模型中存在多重共線性。

    當(dāng)出現(xiàn)下列情況,暗示存在多重共線性:

    模型中各對自變量之間顯著相關(guān);

    當(dāng)模型的線性關(guān)系顯著時,幾乎所有回歸系數(shù)βi的t檢驗卻不顯著;

    回歸系數(shù)的正負(fù)號與預(yù)期的相反。

    當(dāng)回歸模型存在多重共線性時,可以將相關(guān)的自變量進行剔除。

    變量選擇與逐步回歸

    在建立回歸模型時,希望盡可能用最少的變量來建立模型。選擇自變量的原則通常是對統(tǒng)計量進行顯著性檢驗:講一個或一個以上的自變量引入回歸模型時, 是否使殘差平方和(SSE)顯著減少。如果增加一個自變量使SSE顯著減少,則說明有必要將這個自變量引入回歸模型,否則就沒有必要將這個自變量引入。

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